Question

小明家位于六朝古都西安，一個星期天的早晨，小明吃過早飯，像往常一樣來到菜地，幫助媽媽鋤草，“鐺”的一聲，引起小明的注意，好奇的小明發現草叢下面的土里，有一個圓形的破損的古鏡，愛動腦筋的小明想知道這個古鏡的半徑大小，他在古鏡上隨意找到了三個點A、B、C．若構成的△ABC恰好是等腰三角形，底邊BC=8cm，腰AB=5cm，你能幫忙計算鏡子的半徑嗎？

Answer 1

解：連接AO，OB，
∵△ABC恰好是等腰三角形，
∴AB=AC，∴=，
∴AO⊥BC，
∵BC=8cm，
∴BD=4cm，
∵AB=5cm，
∴AD==3（cm），
設圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD=（R-3）cm，
∴R²=5²+（R-3）²，
解得：R=8.5（cm），
答：圓片的半徑R為8.5cm．
分析：首先找到圓心，連接AO，OB，利用垂徑定理和勾股定理可求出圓片的半徑R．
點評：本題主要考查了垂徑定理的推論，我們可以把垂徑定理的題設和結論這樣敘述：一條直線①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優弧，⑤平分劣弧．在應用垂徑定理解題時，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立．