客船O在航行到A的位置時，發現海島P在它的北偏東60°的方向上，如圖所示，它繼續沿正東方向的航線航行，到達點B時，發現海島P在它的北偏東30°方向上．
（1）在圖中確定海島P的位置；
（2）此時有另一艘客船D在點A的位置上，它想盡快登陸海島P，應選擇怎樣的航線（不考慮其他外在因素）？并說明理由．

解：（1）如圖所示：

（2）應沿AP航線走；
理由：兩點之間，線段最短．
分析：（1）根據題意作出北偏東60°方向的直線和北偏東30°方向的直線，兩條直線交點即是海島P的位置；
（2）根據速度一定，路程越小用的時間越短即可判斷．
點評：本題考查了方向角的知識，解答本題的關鍵是畫出示意圖，利用兩點之間線段最短的知識解決實際問題．

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（2011•裕華區二模）如圖①，將兩個等腰直角三角形疊放在一起，使上面三角板的一個銳角頂點與下面三角板的直角頂點重合，并將上面的三角板繞著這個頂點逆時針旋轉，在旋轉過程中，當下面三角板的斜邊被分成三條線段時，我們來研究這三條線段之間的關系．
（1）實驗與操作：
如圖②，如果上面三角板的一條直角邊旋轉到CM的位置時，它的斜邊恰好旋轉到CN的位置，請在網格中分別畫出以AM、MN和NB為邊長的正方形，觀察這三個正方形的面積之間的關系；
（2）猜想與探究：
如圖③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB邊上的點，∠MCN=45°，作DA⊥AB于點A，截取DA=NB，并連接DC、DM．
我們來證明線段CD與線段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于點A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．

請你繼續解答：
①線段MD與線段MN相等嗎？為什么？
②線段AM、MN、NB有怎樣的數量關系，為什么？
（3）拓廣與運用：
如圖④，已知線段AB上任意一點M（AM＜MB），是否總能在線段MB上找到一點N，使得分別以AM與BN為邊長的正方形的面積的和等于以MN為邊長的正方形的面積？若能，請在圖④中畫出點N的位置，并簡要說明作法；若不能，請說明理由．

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客船O在航行到A的位置時，發現海島P在它的北偏東60°的方向上，如圖所示，它繼續沿正東方向的航線航行，到達點B時，發現海島P在它的北偏東30°方向上．
（1）在圖中確定海島P的位置；
（2）此時有另一艘客船D在點A的位置上，它想盡快登陸海島P，應選擇怎樣的航線（不考慮其他外在因素）？并說明理由．

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如圖①所示，∠AOB，∠COD都是直角．
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（1）猜想線段BC′與CB′的數量關系，并證明你的結論；
（2）當點A運動到怎樣的位置時，四邊形BCB′C′為菱形？這樣的位置有幾個？請用語言對這樣的位置進行描述（不用證明）；
（3）當點A在線段BC的垂直平分線（BC的中點及到BC的距離為

的點除外）

上運動時，判斷以點B、C、B′、C′為頂點的四邊形的形狀，畫出相應的示意圖．（不用證明）

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