Question

“黃海”生化食品研究所欲將甲、乙、丙三種食物混合研制成100千克食品，并規定研制成的混合食品中至少需要44 000單位的維生素A和48 000單位的維生素B．三種食物的維生素A、B的含量及成本如下表所示：設取甲、乙、丙三種食物的質量分別為x千克、y千克、z千克．

類    別	甲種食物	乙種食物	丙種食物
維生素A（單位/千克）	400	600	400
維生素B（單位/千克）	800	200	400
成本（元/千克）	9	12	8

（1）根據題意列出等式或不等式，并證明：y≥20且2x-y≥40；
（2）若限定混合食品中要求含有甲種食物的質量為40千克，試求此時制成的混合食品的總成本w的取值范圍，并確定當w取最小值時，可取乙、丙兩種食物的質量．

Answer 1

（1）根據題意得

x+y+z=100 400x+600y+400z≥44000 800x+200y+400z≥48000

整理得

x+y+z=100      2x+3y+2z≥220 4x+y+2z≥240

由x+y+z=100得，z=100-x-y ①
把①代入兩個不等式可得y≥20且2x-y≥40；

（2）因為x=40，y≥20且2x-y≥40，所以20≤y≤40
由題意可得w=40×9+12y+8z
當y=20，z=40時，w有最小值40×9+12×20+8×40=920元；
當y=40，z=20時，w有最大值40×9+12×40+8×20=1000元；
則w的取值范圍是920≤w≤1000．
w取最小值時，乙、丙兩種食物的質量分別是20千克、40千克．