Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數y=-x2-bx+c的圖象經過點A，點B（1，0）和點C（0，3）．點D是拋物線的頂點．

（1）求二次函數的解析式和點D的坐標

（2）直線y=kx+n（k≠0）與拋物線交于點M，N，當△CMN的面積被y軸平分時，求k和n應滿足的條件

（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點E，將拋物線向下平移m（m＞0）個單位，平移后拋物線與y軸交于點C′，連接DC′，OD，是否存在OD平分∠C′DE的情況？若存在，求出m的值；若不薦在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3，點D（-1，4）；（2）k=-2，n＜3；（3）存在，m=．

【解析】

（1）利用待定系數法求得解析式，利用二次函數的頂點坐標公式即可求得點D的坐標；

（2）聯立直線與拋物線的解析式得出關于x的一元二次方程，根據要使y軸平分△CMN的面積，則M、N兩點的橫坐標互為相反數，根據根與系數的關系即可得出k值；再根據而點H在點C之下這一條件，可得出n的取值范圍；

（3）解答本類題目的總體思路在于先假設存在，若能求出m的值則假設成立，否則不成立；若存在，首先根據角平分線的性質，得出OH= 1，DH= 4；進而設HG=a，由△DOG的面積建立關于a的方程組，解之可得點G的坐標，進而求出直線DG的表達式和OC′，與OC作差，即可求出m的值，說明存在OD平分∠C′DE的情況.

（1）y=-x2-bx+c=-x2-bx+3，將點B坐標代入上式得：0=-1-b+3，

解得：b=2，

故拋物線的表達式為：y=-x2-2x+3，

則點A（-3，0）、點D（-1，4）；

（2）設點M、N的橫坐標為x1、x2，

當△CMN的面積被y軸平分時，則x1+x2=0，

將二次函數表達式與直線表達式聯立并整理得：

x2+（2+k）x+（n-3）=0，

x1+x2=-（2+k）=0，即k=-2，

而點H在點C之下，故n＜3，

故：k=-2，n＜3；

（3）存在，理由：

OD平分∠C′DE，即：∠EDO=∠ODC′，

延長DC′交x軸于點G，過點O作OH⊥DG交于H，

∵∠EDO=∠ODC′，

∴OH=OE=1，DH=DE=4，

設HG=a，則OG=，

S△DOG=OG×DE=OH×GD，

即：4=1×（4+a），

解得：a=，即點G（，0），

∴直線DG的表達式為：y=-x+，

即OC′=，

m=3-=．