Question

【題目】如圖，△ABC中AB＝6，AC＝8，D是BC邊上一動點，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

（1）若BC＝10，判斷四邊形AEDF的形狀并證明；

（2）在（1）的條件下，若四邊形AEDF是正方形，求BD的長；

（3）若∠BAC＝60°，四邊形AEDF是菱形，則BD＝　　．

Answer 1

【答案】（1）四邊形AEDF是矩形，理由見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）首先判定平行四邊形，然后證明一個內角為90°，從而判定矩形；

（2）首先根據面積法求得DE的長，然后利用勾股定理求得BD的長即可；

（3）根據面積求得BD：CD＝3：4，然后求得BD的長．

解：（1）AEDF是矩形，理由如下

∵AB2+AC2＝62+82＝BC2＝102，

由勾股定理得∠BAC＝90°

∵DE∥AF、DF∥AE，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

又∵∠BAC＝90°，

∴四邊形AEDF是矩形；

（2）由（1）得，當DE＝DF時，四邊形AEDF是正方形．

設DE＝DF＝x，建立面積方程S△ABC＝ACBD＝DE（AB+AC）；

即：×6×8＝x×（6+8），

解得：x＝，

∴DE＝AE＝，BE＝AB﹣AE＝，

在Rt△DEB中，由勾股定理得：BD＝＝；

（3）依題意得，當AD是∠BAC角平分線時，四邊形AEDF是菱形．

點B作AC的垂線段交于點G，

又∵∠BAG＝60°，

∴AG＝3，CG＝5，BG＝，

由勾股定理得：BC＝，

∵AD平分∠BAC，

∴S▲ABD：S▲ACD＝AB：AC＝BD：CD，

即BD：CD＝3：4．

∴，

故答案為：．