Question

已知拋物線y=x²+bx+c交y軸于點A，點A關于拋物線對稱軸的對稱點為B（3，-4），直線y=x與拋物線在第一象限的交點為C，連接OB．
（1）填空：b=______，c=______；
（2）如圖（1），點P為射線OC上的動點，連接BP，設點P的橫坐標為x，△OBP的面積為S，求S關于x的函數關系式；
（3）如圖（2），點P在直線OC上的運動，點Q在拋物線上運動，問是否存在P、Q，使得以O，B，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據B點坐標及拋物線的對稱性，可求A點坐標，將A、B兩點坐標代入拋物線解析式，解方程組可求b、c；
（2）連接AB，作PD⊥y軸，則D（0，x），在梯形ABPD中，分別計算梯形、兩個直角三角形的面積，利用割補法表示△OBP的面積S；
（3）因為AB=3，根據PQ∥AB，PQ=AB，求出滿足條件的P點坐標．
解答：解：（1）已知B（3，-4），根據拋物線的對稱性可知A（0，-4），
將A、B兩點坐標代入拋物線解析式，得
，解得b=-3，c=-4；

（2）作PD⊥y軸，則D（0，x）
梯形ABPD面積=（x+3）（x+4）=+x+6
△AOB面積=×3×4=6
△DOP面積=×x×x=
∴S=梯形ABPD面積-△AOB面積-△DOP面積=x

（3）存在．設P（4y，y），Q（x，x²-3x-4），
則OB=PQ，OQ=BP，
∵B（3，-4），
∴OB=5，
∴PB²=（4y-3）²+（y+4）²=x²+（x²-3x-4）²，①
OB²=（4y-x）²+（x²-3x-4-y）²=25，②
①②聯立得，，，，．
故P₁（8，2），P₂（，），P₃（-，-），P₄（，）．
點評：本題考查了待定系數法求拋物線解析式的方法，坐標系中，面積的表示方法及平行四邊形性質的運用．