Question

觀察下列各式：2 

2 3

=

2+  2 3

；3 

3 8

=

3+  3 8

；
4 

4 15

=

4+  4 15

；
（1）按上述兩個等式的特征，請猜想5

5 24

=

 

；
（2）針對上述各式反映的規律，寫出用n（n為自然數且n≥2）表示的式子；
（3）證明你在（2）中寫的結論成立．

Answer 1

分析：（1）觀察題干中式子可知5

5 24

=

5+ 5 24

，
（2）由2

2 3

=

2+  2 3

=

2+  2 22-1

，3 

3 8

=

3+  3 8

=

3+  3 32-1

，4 

4 15

=

4+  4 15

=

4+  4 42-1

，故根據上述規律可知n

n n2 -1

= 

n+  n n2 -1

，
（3）把二次根式外面的因式移到根號里面，變形即可．

解答：解：（1）總結規律可知5

5 24

=

5+ 5 24

，

（2）由2

2 3

=

2+  2 3

=

2+  2 22-1

，3 

3 8

=

3+  3 8

=

3+  3 32-1

，4 

4 15

=

4+  4 15

=

4+  4 42-1

，
故根據上述規律可知n

n n2 -1

= 

n+  n n2 -1

，

（3）理由：n

n n2-1

=

n3 n2-1

=

n3-n+n n2-1

=

n(n2-1)+n n2-1

=

n+ n n2-1

，
故結論成立．

點評：本題主要考查二次根式的化簡的知識點，找出等式規律很重要．