Question

如圖，△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，CD交邊AB于點E．
（1）求∠ACE的度數(shù)．
（2）求證：DE=3CE．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形BCD的性質(zhì)、△DBC的內(nèi)角和定理和圖形中的角與角間的數(shù)量關(guān)系來求∠ACE的度數(shù)；
（2）過點B作BM⊥DC于點M．由全等三角形△BME與△ACE的對應(yīng)邊相等推知ME=CE=

1

2

MC．然后根據(jù)等腰三角形“三合一”的性質(zhì)證得DM=MC，最后由等量代換證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵BD=BC（已知），
∴∠D=∠BCD（等邊對等角）．
又∵∠DBC=120°，∠D+∠BCD+∠DBC=180°（三角形內(nèi)角和定理），
∴∠D=∠BCD=30°．
∵∠ACB=120°，∠ACB=∠ACE+∠BCD，
∴∠ACE=90°；

（2）證明：過點B作BM⊥DC于點M．
在Rt△BMC中，由∠BCD=30°，得BM=

1

2

BC．
∵BC=2AC，
∴AC=

1

2

BC，
∴BM=AC．
在△BME與△ACE中，
∵

∠BEM=∠AEC ∠BME=∠ACE BM=AC

，
∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME=CE=

1

2

MC．
∵BD=BC，BM⊥DC，
∴DM=MC，
∴ME=CE=

1

2

DM，
∴DE=3CE．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊、公共角以及對頂角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．