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精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作OE⊥BC，垂足為E，連接DE交AC于點P，過P作PF⊥BC，垂足為F，則的值是　_________　．

【答案】

【解析】

試題分析：∵OB=OD=BD，OE⊥BC，CD⊥BC，

∴△OBE∽△DBC，

∴OE：CD=1：2，

∵OE∥CD，

∴△OEP∽△CDP，

∴，

∵PF∥DC，

∴△EPF∽△EDC，

∴，

∵CE=BC，

∴=．

故答案為．

考點：相似三角形的判定與性質；矩形的性質．

點評：本題考查對相似三角形性質的理解．相似三角形對應邊的比相等．

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如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，點P在線段AB上運動，設AP=x，現將紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF（點E、F為折痕與矩形邊的交點），再將紙片還原．
（1）當x=0時，折痕EF的長為

；當點E與點A重合時，折痕EF的長為

；
（2）請寫出使四邊形EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當x=2時菱形的邊長；
（3）令EF²=y，當點E在AD、點F在BC上時，寫出y與x的函數關系式．當y取最大值時，判斷△EAP與△PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，請說明理由．溫馨提示：用草稿紙折折看

，或許對你有所幫助哦！

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在探究矩形的性質時，小明得到了一個有趣的結論：矩形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．如圖1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC²=AB²+BC²，BD²=AB²+AD²，又CD=AB，AD=BC，所以AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+AD²=2（AB²+BC²）．
小亮對菱形進行了探究，也得到了同樣的結論，于是小亮猜想：任意平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．請你解決下列問題：
（1）如圖2，已知：四邊形ABCD是菱形，求證：AC²+BD²=2（AB²+BC²）；
（2）你認為小亮的猜想是否成立，如果成立，請利用圖3給出證明；如果不成立，請舉反例說明；
（3）如圖4，在△ABC中，BC、AC、AB的長分別為a、b、c，AD是BC邊上的中線．試求AD的長．（結果用a，b，c表示）