Question

38、已知關于x的方程kx²-6x+9=0
（1）當k取何值時，原方程有兩個相等的實數根、并求此時的根；
（2）當k取何值時，原方程有兩個不相等的實數根；
（3）當k取何值時，原方程有實數根．

Answer 1

分析：（1）當k≠0且△=6²-4×9×k=0，原方程有兩個相等的實數根，解關于k的方程求出k的值，然后代入原方程，解方程求根即可；
（2）當k≠0且△=6²-4×9×k＞0，原方程有兩個不相等的實數根，解兩個不等式確定k的范圍；
（3）分類討論：當k=0，原方程變為-6x+9=0，此方程有實根；當k≠0且△=6²-4×9×k≥0，原方程為一元二次方程有實根，解兩個不等式確定k的范圍．最后綜合兩種情況確定k的范圍．

解答：解：（1）當k≠0且△=6²-4×9×k=0，原方程有兩個相等的實數根，
即k=1，方程變為x²-6x+9=0，解方程得x₁=x₂=3．
所以當k=1，原方程有兩個相等的實數根、此時的根為x₁=x₂=3．
（2）當k≠0且△=6²-4×9×k＞0，原方程有兩個不相等的實數根，即k＜1且k≠0．
所以當k的取值范圍為k＜1且k≠0時，原方程有兩個不相等的實數根．
（3）當k=0，原方程變為-6x+9=0，此方程有實根；
當k≠0且△=6²-4×9×k≥0，原方程為一元二次方程有實根，即k≤1且k≠0；
由兩種情況綜合得k≤1．
所以當k的取值范圍為k≤1時，原方程有實數根．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了運用分類的思想確定方程及方程根的情況．