Question

（2001•沈陽）已知：如圖（1），⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，經過A點的直線分別交⊙O₁、⊙O₂于C、D兩點（C、D不與B重合）．連接BD，過C作BD的平行線交⊙O₁于點E，連接BE．
（1）求證：BE是⊙O₂的切線；
（2）如圖（2），若兩圓圓心在公共弦AB的同側，其它條件不變，判斷BE和⊙O₂的位置關系；（不要求證明）
（3）若點C為劣弧AB的中點，其它條件不變，連接AB、AE，AB與CE交于點F，如圖（3），寫出圖中所有的相似三角形．（不另外連線，不要求證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）要證切線，可過B作⊙O₂的直徑BH，連接AH，那么證明BH⊥BE即可，根據圓周角定理，可得出∠H=∠D，而根據平行線，可得出∠D=∠ACE=∠ABE，因此∠H=∠ABE，然后兩角都加上一個∠BAH后，可得出∠EBH=90°，由此得證；
（2）證法和（1）完全一樣，只不過最后根據等角加上一個公共角，得出∠EBH=90°，換成了等角減去一個公共角得出∠EBH=90°，因此結論一樣；
（3）由于C是劣弧AB的中點，因此弧AC=弧BC，∠BAC=∠CEA=∠BEC，又由EC∥BD，因此∠ACE=∠D=∠ABE，因此可得出的相似三角形有：△AFC∽△ABD∽△EAC∽△EFB．
解答：（1）證明：過B作⊙O₂的直徑BH，連接AH，AB則∠BAH=90°，
∵EC∥BD
∴∠ACE=∠D
∵∠H=∠D，∠ACE=∠ABE
∴∠H=∠ABE
∵∠H+∠ABH=90°
∴∠ABH+∠ABE=90°
∴∠EBH=90°，即EB是⊙O₂的切線；

（2）解：直線BE與⊙O₂相切；

（3）解：△AFC∽△ABD∽△EAC∽△EFB．
點評：本題主要考查了圓周角定理、切線的判定、相似三角形的判定等知識點．