Question

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，F，E分別是對角線AC，BD的中點．
求證：EF=（BC-AD）．

Answer 1

【答案】分析：此題中連接AE并延長，交BC于點G或CE、DA延長線相交于G均可．根據全等三角形的判定和性質易證明EF是構造的三角形的中位線，根據三角形的中位線定理就可證明．
解答：證明：方法一：
如圖所示，連接AE并延長，交BC于點G．
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠GBE，∠EAD=∠EGB，
又∵E為BD中點，
∴△AED≌△GEB．
∴BG=AD，AE=EG．
在△AGC中，
∵F，E分別是對角線AC，BD的中點
∴F、E是△AGC的為中位線，
∴EF∥BC，EF=GC=（BC-BG）=（BC-AD），
即EF=（BC-AD）．

方法二：如圖所示，設CE、DA延長線相交于G．
∵E為BD中點，AD∥BC，易得△GED≌△CEB．
∴GD=CB，GE=CE．
在△CAG中，∵E，F分別為CG，CA中點，
∴EF=GA=（GD-AD）=（BC-AD），即EF=（BC-AD）．
點評：此題關鍵是巧妙構造輔助線，借助全等三角形的性質可以發現三角形的中位線，運用三角形的中位線定理就可證明．