Question

15．如圖是拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）的一部分，拋物線的頂點坐標A（1，3），與x軸的一個公共點B（4，0），直線y₂=mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點，下列結論：
①2a-b=0；
②abc＜0；
③方程ax²+bx+c=3有兩個相等的實數根；
④拋物線與x軸的另一個公共點是（-1，0）；
⑤當1＜x＜4時，有y₂＞y₁；
其中正確的有（　　）個．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用對稱軸是直線x=1判定①；利用開口方向，對稱軸與y軸的交點判定a、b、c得出②；利用頂點坐標和平移的規律判定③；利用對稱軸和二次函數的對稱性判定④；利用圖象直接判定⑤即可．

解答 解：∵對稱軸x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0，①錯誤；

∵a＜0，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在正半軸上，
∴c＞0，
∴abc＜0，②正確；

∵把拋物線y=ax²+bx+c向下平移3個單位，得到y=ax²+bx+c-3，
∴頂點坐標A（1，3）變為（1，0），拋物線與x軸相切，
∴方程ax²+bx+c=3有兩個相等的實數根，③正確；

∵對稱軸是直線x=1，與x軸的一個交點是（4，0），
∴與x軸的另一個交點是（-2，0），④錯誤；

∵當1＜x＜4時，由圖象可知y₂＜y₁，
∴⑤錯誤．
正確的有②③．
故選：B．

點評 本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax²+bx+c（a≠0），當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△決定：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．