Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點P，Q都是斜邊AB上的動點，點P從B 向A運動（不與點B重合），點Q從A向B運動，BP=AQ．點D，E分別是點A，B以Q，P為對稱中心的對稱點， HQ⊥AB于Q，交AC于點H．當點E到達頂點A時，P，Q同時停止運動．設BP的長為x，△HDE的面積為y．

（1）求證：△DHQ∽△ABC；

（2）求y關于x的函數解析式并求y的最大值；

 

Answer 1

 

（1）證明略

（2）

解析:解：

（1）∵A、D關于點Q成中心對稱，HQ⊥AB，

∴=90°，HD=HA，

∴，

∴△DHQ∽△ABC． …………………………………………………………2分

（2）①如圖1，當時，

ED=，QH=，

此時．…………………………………………3分

當時，最大值．………………………………………………………4分

②如圖2，當時，

ED=，QH=，

此時．………………………………5分

當時，最大值．……………………………………………6分

∴y與x之間的函數解析式為

∴y的最大值是．………………………………………………………8分