Question

（2007•威海）如圖，四邊形ABCD為一梯形紙片，AB∥CD，AD=BC．翻折紙片ABCD，使點A與點C重合，折痕為EF．已知CE⊥AB．
（1）求證：EF∥BD；
（2）若AB=7，CD=3，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C點作CH∥BD，交AB的延長線于點H；連接AC，交EF于點K，則AK=CK．
通過證明四邊形CDBH是平行四邊形，△ACH是等腰三角形，根據等腰三角形的性質，底邊上的高是底邊上的中線得到EK是△AHC的中位線．EK∥CH．可得EF∥BD．
（2）由AB=7，CD=3，得AH=10．由折疊的性質知AE=CE，∴AE=CE=EH=5．在等腰直角三角形CHE中，由勾股定理得，CH=5=BD．由于△AFE∽△ADB．即．從而求得EF的值．
解答：（1）證明：過C點作CH∥BD，交AB的延長線于點H；
連接AC，交EF于點K，則AK=CK．
∵AB∥CD，∴BH=CD，BD=CH．
∵AD=BC，∴AC=BD=CH．
∵CE⊥AB，
∴AE=EH．
∴EK是△AHC的中位線．
∴EK∥CH．
∴EF∥BD．

（2）解：由（1）得BH=CD，EF∥BD．
∴∠AEF=∠ABD．
∵AB=7，CD=3，
∴AH=10．
∵AE=CE，AE=EH，
∴AE=CE=EH=5．
∵CE⊥AB，∴CH=5=BD．
∵∠EAF=∠BAD，∠AEF=∠ABD，
∴△AFE∽△ADB．
∴．
∴．
點評：本題利用了：1、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2、平行線的性質，三角形中位線的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質求解．