Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，直角三角尺的一條直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），另一條直角邊與BC相交于點(diǎn)Q。設(shè)AE的長(zhǎng)為xcm，BQ的長(zhǎng)為ycm。    
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；    
（2）E點(diǎn)滑動(dòng)到何處，BQ最長(zhǎng)？最長(zhǎng)是多少？    
（3）在（2）的情況下，猜想：以DO為直徑的⊙O與AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明你的猜想。

Answer 1

解：（1）∵ ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC =90°     
∵∠DEQ =90°∴∠AED+ ∠QEB =90°
∵∠ADE + ∠AED =90°  ∴ ∠ADE = ∠BEQ
 ∴△ADE ∽ △BEQ   
∴    即
（2）y= -(x²-4x)= -(x-2)²+1
∵a= -<0，∴函數(shù)有最大值，當(dāng)x =2時(shí)，y最大值=1
∴當(dāng)AE=2（BE =2或E是AB中點(diǎn)）時(shí)，BQ有最大值，最大值是1
（3）⊙O與AB相切

證明：連結(jié)DQ、QE（如圖2）
∵ DQ為⊙O直徑，∠DEQ =90°
∴OE=DQ   ∵E為AB中點(diǎn)
∴OE為梯形ABQD的中位線
∴OE//AD   ∴AD ⊥ AB  ∴OE⊥AB 
∴⊙O與AB相切