Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD=5，AB=DC=2，點P在線段AD上移動（點P與點A、D不重合），連接PB、PC．
（1）當△ABP∽△PCB時，請寫出圖中所有與∠ABP相等的角，并證明你的結論；
（2）求（1）中AP的長；
（3）如果PE分別交射線BC、DC于點E、Q，當△ABP∽△PEB時，設AP=x，CQ=y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據△ABP∽△PCB，得出∠ABP=∠PCB，進而得出∠DPC=∠PCB，∠DPC=∠ABP；
（2）首先證明△ABP∽△DPC，從而得出

AP

AB

=

DC

DP

，即可求出AP的值；
（3）分別從當點E在線段BC上時，②當點E在線段BC的延長線上時，進行分析得出答案即可．

解答：（1）證明：有∠PCB和∠DPC．（2分）
∵△ABP∽△PCB，
∴∠ABP=∠PCB，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∴∠DPC=∠ABP．（4分）

解：（2）梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=DC，∴∠A=∠D．
∵∠DPC=∠ABP∴△ABP∽△DPC．
∴

AP

AB

=

DC

DP

．（5分）
設AP=x，則DP=5-x，
∴

x

2

=

2

5-x

．（6分）
解得x₁=1，x₂=4，
∴AP=1或4．（8分）

解：（3）①當點E在線段BC上時，
∵△ABP∽△PEB，∴∠ABP=∠PEB
∵AD∥BC，∴∠PEB=∠DPQ
∴∠ABP=∠DPQ．
在梯形ABCD中，
∵AB=DC，∴∠D=∠A
∴△ABP∽△DPQ．（9分）
∴

AB

PD

=

AP

DQ

．
∵AP=x，CQ=y，∴PD=5-x，DQ=2+y．
∴

2

5-x

=

x

2+y

．
∴y=-

1

2

x2+

5

2

x-2．
令y＞0，即-

1

2

x2+

5

2

x-2＞0．
觀察圖象得1＜x＜4，
又∵x＞0，5-x＞0，
綜上所述1＜x＜4；（11分）
②當點E在線段BC的延長線上時，
∵△ABP∽△PEB，∴∠ABP=∠E．
∵AD∥BC，∴∠E=∠DPQ．
∴∠ABP=∠DPQ．
在梯形ABCD中，
∵AB=DC，∴∠D=∠A．
∴△ABP∽△DPQ．（12分）
∴

AB

PD

=

AP

DQ

．
∵AP=x，CQ=y，
∴PD=5-x，DQ=2-y．
∴

2

5-x

=

x

2-y

．
∴y=

1

2

x2-

5

2

x+2．
令y＞0，即

1

2

x2-

5

2

x+2＞0．
觀察圖象得x＜1或4＜x．
又∵x＜5，
綜上所述：0＜x＜1或4＜x＜5．（14分）

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及二次函數的綜合應用，進行分類討論注意以不要漏解是解決問題的關鍵．