Question

如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數的圖象相交于點A（-2，1）、點B（1，n）．
（1）求此一次函數和反比例函數的解析式；
（2）請直接寫出滿足不等式的解集；
（3）若點P是雙曲線左支上一動點，過點P的直線與雙曲線另一支交于點M，過點P作PE⊥y軸，過點M作MN⊥x軸，垂足分別為E、N，PN與ME交于點D，請判斷△PDE與△MDN面積的大小關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點A（-2，1）在反比例函數的圖象上，
∴1=，
求得：m=-2．
∴反比例函數的解析式為：．
∵B（1，n）．
∴n=-2
∴B（1，-2）．
∴
解得：k=-1，b=-2．
∴一次函數的解析式為：y=-x-2．

（2）圖象得的解集是：x＜-2或0＜x＜1．

（3）S_△PDE=S_△MDN，
延長PE、MN相交于點H，設P（a，b），M（c，d）．則|ab|=2，|cd|=2．
∴S_△MEH==1+
S_△PHN==1+
∴S_△MEH=S_△PHN，
∴S_△MEH-S_{四邊形EHND}=S_△PHN-S_{四邊形EHND}，
即S_△PDE=S_△MDN．
分析：（1）要求反比例函數的解析式比較簡單，點A的坐標知道，直接代入解析式就可．求一次函數的解析式只要知道點B的坐標就可以，點B的坐標可以從反比例函數的解析式求得．
（2）實際就是求x為何值時一次函數值大于反比例函數值．可以由圖象得知．
（3）要判斷S_△PDE和S_△MDN的關系，作輔助線延長PE、MN相交于點H，可以求得S_△PHN=S_△MHE．根據等式的性質減去S_{四邊形EHND}從而得證S_△PDE=S_△MDN．
點評：本題是一道反比例函數的綜合題，考查了利用待定系數法求函數的解析式，利用發比例函數的圖象特征不等式的解集和圖形的面積，本題比較難，特別是作輔助線將圖形轉化是難點．