Question

（2013•閔行區二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在邊AB上，以點A為圓心，線段AD的長為半徑的⊙A與邊AC相交于點E，AF⊥DE，垂足為點F，AF的延長線與邊BC相交于點G，聯結GE．已知DE=10，cos∠BAG=

12

13

，

AD

DB

=

1

2

．求：
（1）⊙A的半徑AD的長；
（2）∠EGC的余切值．

Answer 1

分析：（1）由在⊙A中，AF⊥DE，DE=10，由垂徑定理可求得DF的長，又由cos∠DAF=

AF

AD

=

12

13

，利用勾股定理即可求得AD的長；
（2）由AB=AC，AD=AE，易證得△ADE∽△ABC，∠AGC=∠FEG，然后由相似三角形對應高的比等于相似比，求得FG的長，繼而求得∠EGC的余切值．

解答：解：（1）在⊙A中，
∵AF⊥DE，DE=10，
∴DF=EF=

1

2

DE=

1

2

×10=5． …（1分）
在Rt△ADF中，由cos∠DAF=

AF

AD

=

12

13

，
設AF=12k，AD=13k．…（1分）
利用勾股定理，得AF²+DF²=AD²．
∴（12k）²+5²=（13k）²．
解得：k=1．…（1分）
∴AD=13． …（1分）

（2）由（1），可知F=12k=12．…（1分）
∵

AD

DB

=

1

2

，
∴

AD

AB

=

1

3

．…（1分）
在⊙A中，AD=AE．
又∵AB=AC，
∴

AD

AB

=

AE

AC

．
∴DE∥BC．…（1分）
∴△ADE∽△ABC，∠AGC=∠FEG，
∵AF⊥DE，
∴AG⊥BC，
∴

AF

AG

=

AD

AB

=

1

3

．
∴AG=36．
∴AF=12，
∴FG=AG-AF=24．…（1分）
在Rt△EFG中，cot∠FEG=

EF

FG

=

5

24

．…（1分）
即得cot∠EGC=

5

24

．…（1分）

點評：此題考查了垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．