Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AD垂直于過點C的直線，垂足為D，且AC平分∠BAD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AC=2

5

，CD=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）連接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠CAO，推出OC∥AD，推出OC⊥DF，根據切線判定推出即可；
（2）連接BC，證△DAC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC=∠OCF，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC為半徑，
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AC

AB

=

AD

AC

，
在Rt△ADC中，AC=2

5

，CD=2，
∴AD=4，
∴

2 5

AB

=

4

2 5

，
∴AB=5．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理，圓周角定理，平行線性質和判定，等腰三角形性質，切線的判定的應用，主要考查學生的推理能力．