Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A為第二象限內一點，且AO=5

5

，cosα=

2 5

5

．
（1）求點A的坐標；
（2）在x軸上，是否存在一點P，使得cos∠APO=

12

13

？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過A作AD垂直于x軸于D，根據三角函數的知識，分別求出OD=10，AD=5．從而求得A點坐標；
（2）分①P點在D點左側，②P點在D點右側兩種情況，根據勾股定理求出PD，AP的長度，得到P點坐標．

解答：解：（1）過A作AD垂直于x軸于D
在Rt△ADO中，∵AO=5

5

，cosα=

2 5

5

∴

OD

AO

=

2 5

5

∴OD=10，AD=5．（1分）
∴A點坐標為（-10，5）（2分）

（2）存在點P，使得cos∠APO=

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13

當P點在D點左側時，
在Rt△APD中，
∵AD=5，cos∠APO=

12

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設PD=12k，AP=13k
∵PD²+AD²=AP²
∴k=1∴PD=12，AP=13
∴P點坐標為（-22，0）（4分）
當P點在D點右側時，
同理有PD=12，AP=13
∴P點坐標為（2，0）（5分）
∴點P坐標為（-22，0）或（2，0）．（6分）

點評：本題考查了在平面直角坐標系中解直角三角形中三角函數的應用，要熟練掌握好邊角之間的關系．同時考查了勾股定理．