Question

如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm半圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)D、E始終在直線BC上．設(shè)運(yùn)動時間為t（s），當(dāng)t=0s時，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC=8cm．當(dāng)t為何值時，△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切？

Answer 1

解：（1）①如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，AC⊥OE，OC=OE=6cm，所以AC為半圓O所在的圓相切，此時點(diǎn)O運(yùn)動了2cm，所求運(yùn)動時間為：t==1（s）
②如圖，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C時，過點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F．
在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=12cm，則OF=6cm，即OF等于半圓O的半徑，所以AB與半圓O所在的圓相切．此時點(diǎn)O運(yùn)動了8cm，所求運(yùn)動時間為：t==4（s）
③如圖，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到BC的中點(diǎn)時，AC⊥OD，OC=OD=6cm，所以AC與半圓O所在的圓相切．此時點(diǎn)O運(yùn)動了14cm，所求運(yùn)動時間為：t==7（s）．
④如圖，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到B點(diǎn)的右側(cè)，且OB=12cm時，過點(diǎn)O作OQ⊥AB，垂足為Q．在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ=6cm，即OQ等于半圓O所在的圓的半徑，
所以直線AB與半圓O所在的圓相切．此時點(diǎn)O運(yùn)動了32cm，所求運(yùn)動時間為：t==16（s）．cm²）

分析：隨著半圓的運(yùn)動分四種情況：①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，AC與半圓相切，②當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C時，AB與半圓相切，③當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到BC的中點(diǎn)時，AC再次與半圓相切，④當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到B點(diǎn)的右側(cè)時，AB的延長線與半圓所在的圓相切．分別求得半圓的圓心移動的距離后，再求得運(yùn)動的時間．
點(diǎn)評：考查直線與圓的位置關(guān)系，本題利用了直線與圓相切的概念，能夠?qū)⒏鞣N情況都考慮全是解題的關(guān)鍵．