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已知橢圓C： $數學公式$ （a＞b＞0）的離心率為 $數學公式$ ，且短軸的一個端點到左焦點F的距離是 $數學公式$ ，經過點F且不垂直于x軸的直線l交橢圓C于A，B兩點．點O為坐標原點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）在線段OF上存在點M（m，0）（點M不與點O，F重合），使得以MA，MB為鄰邊的平行四邊形MANB是菱形，求m的取值范圍．

解：（Ⅰ）因為短軸的一個端點到左焦點點F的距離是 $\text{[math]}$ ，離心率為 $\text{[math]}$ ，
所以a= $\text{[math]}$ ，c=1
所以b²=a²-c²=1
所以橢圓C的標準方程是 $\text{[math]}$ …（4分）
（Ⅱ）因為直線l與x軸不垂直，且交橢圓C于A，B兩點，所以設直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）
代入橢圓方程，消去y可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
因為以MA，MB為鄰邊的平行四邊形MANB是菱形，所以 $\text{[math]}$ ．
所以（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0
因為x₁≠x₂，
所以（x₁+x₂-2m）+k²（x₂+x₁+2）=0．
所以（ $\text{[math]}$ -2m）+k²（ $\text{[math]}$ +2）=0．
所以 $\text{[math]}$ ．
因為k≠0，所以 $\text{[math]}$ ．
所以m的取值范圍是 $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（Ⅰ）利用短軸的一個端點到左焦點點F的距離是 $\text{[math]}$ ，離心率為 $\text{[math]}$ ，可求橢圓幾何量，從而可得橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）代入橢圓方程，消去y可得一元二次方程，利用以MA，MB為鄰邊的平行四邊形MANB是菱形，可得 $\text{[math]}$ ，從而可得 $\text{[math]}$ ，由此可得m的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．

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已知橢圓C：

（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率為

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知一直線l過橢圓C的右焦點F₂，交橢圓于點A、B．
（ⅰ）若滿足

（O為坐標原點），求△AOB的面積；
（ⅱ）當直線l與兩坐標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在一點P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補角？若存在，求出P坐標；若不存在，請說明理由．

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