Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是CD上一點，AD=DE，BC=CE，F是AB的中點，AE、DF交于G，BE、CF交于H．
（1）判斷△ABE的形狀并說明理由；
（2）若以AB為直徑作⊙F，試證明CD與⊙F相切于點E．
（3）若AD=DE=1cm，BC=CE=3cm，求四邊形FHEG的面積．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，得∠ADE+∠ECB=180°，根據△ADE，△CBE為等腰三角形，表示∠AED，∠BEC，根據∠BEA=180°-（∠DEA+∠BEC）求度數，判斷結論；
（2）連接EF，AB為直徑，且∠BEA=90°，可判斷點E在以AB為直徑的圓上，只需要證明EF⊥CD即可；
（3）證明∠CFD=90°，判斷四邊形GFHE是矩形，又EF⊥CD，由相似可得EF²=DE×EC，可求半徑EF，解直角三角形得∠DFE=30°，再分別求FG，EG即可．

解答：（1）結論：△ABE是直角三角形．
證明：∵AD=DE，BC=EC．∴∠DAE=∠DEA，∠BEC=∠EBC．
∴∠DEA=

1

2

（180°-∠ADE），∠BEC=

1

2

（180°-∠ECB）．
∵AD∥BC．∴∠ADE+∠ECB=180°．
∴∠DEA+∠BEC=

1

2

（180°-∠ADE）+

1

2

（180°-∠ECB）=90°．
∴∠BEA=180°-（∠DEA+∠BEC）=90°．
∴△ABE是直角三角形．

（2）連接EF．∵∠BEA=90°．∴點E在以AB為直徑的圓上．
∴AF=EF．又∵AD=DE，DF=DF．
∴△DAF≌△DEF．∴∠DEF=∠DAF=90°．
∴CD與⊙F相切于點E．

（3）∵AD=DE，AF=EF．
∴DF垂直平分AE．
∴∠EGF=90°．同理：∠EHF=90°．
又∵∠BEA=90°∴四邊形GFHE是矩形．
∵EF²=DE×EC=3，∴EF=

3

，
tan∠DFE=

DE

EF

=

3

3

，∴∠DFE=30°，
∴FG=EF•cos30°=

3

2

，FH=EF•sin30°=

3

2

，
∴四邊形FHEG的面積

3

4

3

．

點評：本題考查了切線的判定與性質，矩形的判定與性質，解直角三角形的知識．關鍵是連接EF，利用內角和定理判斷特殊三角形．