Question

已知圓O的直徑AB=2cm，過A點的兩弦AC=

2

cm，AD=

3

cm，則∠CAD所夾圓內部分的面積是

 

cm²．

Answer 1

分析：先根據題意畫出圖形，由于不明確AC、AD的位置關系，故應分兩種情況討論：
（1）如圖（1），當AC、AD在直徑AB的同側時，連接BC、BD、OC、OD分別根據三角形的直徑及弦長求出∠1、∠2的度數，進而求出扇形BOD及BOC的面積，過O作OF⊥AD于F，再求出△AOC及△AOD的面積，再求出三角形及扇形的面積和即可．
（2）同（1）作出輔助線，求出扇形BOD及BOC的面積，△AOC及△AOD的面積，再求出三角形及扇形的面積和即可．∠CAD所夾圓內部分的面積=S_扇形BOC+S_△AOC-S_扇形BOD-S_△AOD．

解答：解：（1）如圖（1），連接BC、BD、OC、OD，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵OC=OA=

1

2

AB=

1

2

×2=1，AC=

2

cm，
∴1²+1²=（

2

）²，即OA²+OC²=（AC）²，
∴△AOC是等腰直角三角形，∴S_△AOC=

1

2

×1×1=

1

2

；
∴∠BOC=90°，S_扇形BOC=

90°π×12

360°

=

π

4

；
在△AOD中，過O作OF⊥AD于F，
∵OA=OD=1，∴AF=DF=

1

2

AD=

1

2

×

3

=

3

2

．
OF=

OA2-AF2

=

12-( 3 2 )2

=

1

2

，
∴S_△AOD=

1

2

×AD×OF=

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

．
在Rt△AOD中，BD=

AB2-AD2

=

22- 3 2

=1，
∴△BOD是等邊三角形，∠BOD=60°，
∴S_扇形BOD=

60π×12

360

=

π

6

．
∴∠CAD所夾圓內部分的面積=S_△AOC+S_扇形BOC+S_△AOD+S_△AOD=

1

2

+

π

4

+

3

4

+

π

6

=

2+ 3

4

+

5π

12

（m²）．

（2）同（1），
∠CAD所夾圓內部分的面積=S_△AOC+S_扇形BOC-S_△AOD-S_△AOD=

1

2

+

π

4

-

3

4

-

π

6

=

2- 3

4

+

π

12

（m²）．

點評：此題比較復雜，解答此題的關鍵是作出輔助線，分別求出三角形及扇形的面積再解答．