Question

如圖，已知等邊△ABC，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于點D、E，過點D作DF⊥AC于點F，
（1）判斷DF與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）過點F作FH⊥BC于點H，若等邊△ABC的邊長為8，求AF，FH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，證∠ODF=90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF長，同理可利用△FHC中的60°的三角函數值可求得FH長．
解答：解：（1）DF與⊙O相切．理由如下：
連接OD．  
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵OD=OB，
∴△ODB是等邊三角形，
∴∠DOB=60°，
∴∠DOB=∠C=60°，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴DO⊥DF，
∴DF與⊙O相切；

（2）連接CD．
∵CB是⊙O直徑，
∴DC⊥AB．
又∵AC=CB=AB，
∴D是AB中點，
∴AD=．
在直角三角形ADF中，
∠A=60°，∠ADF=30°，∠AFD=90°，
∴，
∴FC=AC-AF=8-2=6．
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°．
∵∠C=60°，
∴∠HFC=30°，
∴，
∴FH==3．
點評：本題主要考查了切線的判定與性質，等邊三角形的性質，勾股定理和圓周角定理等知識．判斷直線和圓的位置關系，一般要猜想是相切，再證直線和半徑的夾角為90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函數來求得相應的線段長．