Question

已知△ABC中，AB=AC．
（1）如圖1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求證：CD=BE；
（2）如圖2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的長；
（3）如圖3，在△ADE中，當BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB時，試探究CD²，BD²，AH²之間的數量關系，并證明．

Answer 1

分析：（1）求出∠DAC=∠BAE，再利用“邊角邊”證明△ACD和△ABE全等，再根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）連接BE，先求出△ADE是等邊三角形，再根據全等三角形對應邊相等可得BE=CD，全等三角形對應角相等可得∠BEA=∠CDA=30°，然后求出∠BED=90°，再利用勾股定理列式進行計算即可得解；
（3）過B作BF⊥BD，且BF=AE，連接DF，先求出四邊形ABFE是平行四邊形，根據平行四邊形對邊相等可得AB=EF，設∠AEF=x，∠AED=y，根據平行四邊形的鄰角互補與等腰三角形的性質求出∠CAD，從而得到∠CAD=∠FED，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△EFD全等，根據全等三角形對應邊相等可得CD=DF，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：（1）如圖1，證明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+CAE=∠BAC+∠CAE，
即∠DAC=∠BAE．
在△ACD與△ABE中，

AD=AE ∠DAC=∠BAE AC=AB

，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；

（2）連接BE，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∵CD垂直平分AE，
∴∠CDA=

1

2

∠ADE=

1

2

×60°=30°，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=4，∠BEA=∠CDA=30°，
∴BE⊥DE，DE=AD=3，
∴BD=5；

（3）如圖，過B作BF⊥BD，且BF=AE，連接DF，
則四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AB=EF，
設∠AEF=x，∠AED=y，
則∠FED=x+y，
∠BAE=180°-x，∠EAD=∠AED=y，∠BAC=2∠ADB=180°-2y，
∠CAD=360°-∠BAC-∠BAE-∠EAD=360°-（180°-2y）-（180°-x）-y=x+y，
∴∠FED=∠CAD，
在△ACD和△EFD中，

AC=FE ∠FED=∠CAD AD=ED

，
∴△ACD≌△EFD（SAS），
∴CD=DF，
而BD²+BF²=DF²，
∴CD²=BD²+4AH²．

點評：本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與 性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等邊三角形的判定與性質，綜合性較強，難度較大，作輔助線構造出全等三角形與直角三角形是解題的關鍵．