Question

【題目】如圖1，P是平面直角坐標系中第一象限內一點，過點P作PA⊥x軸于點A，以AP為邊在右側作等邊△APQ，已知點Q的縱坐標為2，連結OQ交AP于B，BQ＝3OB．

(1)求點P的坐標；

(2)如圖2，若過點P的雙曲線(k＞0)與過點Q垂直于x軸的直線交于D，連接PD．求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）過點Q作x軸的垂線N，根據△APQ是等邊三角形及PA⊥x軸得出∠QAN=90°-60°=30°，因為點Q的縱坐標是2，根據解直角三角形可求出AQ與AN的值，根據△AOB∽△ONQ和BQ＝3OB可得OA的值，繼而可得點P坐標；

（2）設DQ的延長線與過點P平行于x軸的直線交于點E，將P(,4)代入可得雙曲線解析式，由（1）得D點橫坐標，代入解析式即可求出D的縱坐標，即DN的長，從而得到DE的長，在Rt△PED中，PE=AN，=，將值代入即可求解．

解：（1）過點Q作x軸的垂線N

∵△APQ是等邊三角形

∴∠PAQ=60°

∵PA⊥x軸

∴∠QAN=90°-60°=30°

∵點Q的縱坐標是2

∴QN=2

∴

AN===

∴點P縱坐標為4

∵PA⊥x軸，QN⊥x軸

∴△AOB∽△ONQ

∴

∵BQ＝3OB

∴==3

∴OA=

∴P點坐標為(,4)．

故答案為(,4)．

（2）設DQ的延長線與過點P平行于x軸的直線交于點E

將P(,4)代入，得

解得k=

∴雙曲線解析式為

由（1）知N點橫坐標為+=

即D點橫坐標為

∴D點縱坐標為

∴DN=1

∴DQ=QN-DN=2-1=1

∴DE=4-1=3

在Rt△PED中，PE=AN=

∴==．

故答案為．