Question

如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(2，0)，交y軸于點(diǎn)B(0，)直線y=kx過點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)C與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是D。

⑴求拋物線與直線y=kx的解析式；

⑵設(shè)點(diǎn)P是直線AD上方的拋物線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），過點(diǎn)P作 y軸的平行線，交直線AD于點(diǎn)M，作DE⊥y軸于點(diǎn)E．探究：是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PMEC是平行四邊形，若存在請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

⑶在⑵的條件下，作PN⊥AD于點(diǎn)N，設(shè)△PMN的周長為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值．

Answer 1

 解：⑴∵經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)和B(0，)

∴由此得：         解得：

∴拋物線的解析式是∵直線y=kx經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)

∴2k=0   解得：k=

∴直線的解析式是

⑵設(shè)P的坐標(biāo)是()，則M的坐標(biāo)是(x，)

∴PM=()－()=  ……4分

解方程組    解得：   

∵點(diǎn)D在第三象限，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（－8，）

由得點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，)

∴CE=－()=6 由于PM∥y軸，要使四邊形PMEC是平行四邊形，必有PM=CE，

即=6          

 解這個(gè)方程得：x₁=－2，x₂=－4      符合－8＜x＜2

當(dāng)x₁=－2時(shí)，

當(dāng)x₁=－4時(shí)，

因此，直線AD上方的拋物線上存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PMEC是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(－2，3)和(－4，)

⑶在Rt△CDE中，DE=8，CE=6

由勾股定理得：DC=

∴△CDE的周長是24

∵PM∥y軸，容易證明△PMN∽△CDE

∴，   即

化簡整理得：與x的函數(shù)關(guān)系式是：

∵，∴有最大值

當(dāng)x=－3時(shí)，的最大值是15