Question

已知：如圖，在□ABCD中，∠BCD的平分線CE交AD于E，∠ABC的平分線BG交CE于F，交AD于G．
（1）試找出圖中的等腰三角形，并選擇一個加以說明
（2）試說明：AE=DG．
（3）若BG將AD分成3:2的兩部分，且AD=10，求□ABCD的周長。

Answer 1

（1）△ABG，△DCE；（2）證明見解析；（3）32或28．

試題分析：（1）由平行四邊形的性質及角平分線的性質即可得出△ABG，△DCE是等腰三角形；
（2）由于BG將AD分成3：2的兩部分，所以應分兩種情況，即AG：GD=3：2，或AG：GD=2：3，進而求解即可．
（1）△ABG，△DCE是等腰三角形．
在平行四邊形ABCD中，則AD∥BC，
∴∠AGB=∠GBC，
又BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG，
∴∠ABG=∠AGB，即AB=AG，
∴△ABG是等腰三角形；
（2）由（1）可得AB=AG=CD=DE，∴AE=DG；
（3）假設AG：GD=3：2，
∵AD=10，∴AB=AG=AD=6，
∴平行四邊形的周長為2（10+6）=32；
當AG：GD=2：3時，則AB=AG=AD=4，
∴平行四邊形的周長為2（10+4）=28．
所以平行四邊形ABCD的周長為32或28．