Question

如圖1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE，AC和BE相交于點O。

（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；
（2）如圖2，P是線段BC上一動點（圖2），（不與點B、C重合），連接PO并延長交線段AB于點Q，QR⊥BD，垂足為點R。
①四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；
②當線段BP的長為何值時，△PQR與△BOC相似？

Answer 1

解：（1）四邊形ABCE是菱形，證明如下： ∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的， ∴EC∥AB，且EC=AB， ∴四邊形ABCE是平行四邊形， 又∵AB=BC， ∴四邊形ABCE是菱形， （2）①四邊形PQED的面積不發生變化，理由如下： ∵ABCE是菱形， ∴AC⊥BE，OC=AC=3， ∵BC=5， ∴BO=4， 過A作AH⊥BD于H，（如圖1） ∵S△ABC=BC×AH=AC×BO，即：×5×AH=×6×4， ∴AH=， 由菱形的對稱性知，△PBO≌△QEO， ∴BP=QE， ∴S四邊形PQED=（QE+PD）×QR =（BP+PD）×AH=BD×AH =×10×=24； ②如圖2，當點P在BC上運動，使△PQR與△COB相似時， ∵∠2是△OBP的外角， ∴∠2＞∠3， ∴∠2不與∠3對應， ∴∠2與∠1對應，即∠2=∠1， ∴OP=OC=3， 過O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點，△OGC∽△BOC， ∴CG∶CO=CO∶BC，即：CG∶3=3∶5， ∴CG=， ∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×=。