Question

（1）已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a²+b²+c²-6a-8b-10c+50=0，請你根據此條件判斷這個三角形的形狀，并說明理由．
（2）在△ABC中，三條邊的長分別為a、b、c，且a=x²-1，b=x²+1，c=2x（x＞1，且x為整數），請你判斷這個三角形的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先將已知等式利用配方法變形得到（a-5）²+（b-12）²+（c-13）²=0，再利用非負數的性質，分別求出a、b、c的值，然后利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；
（2）先分別計算a²+c²與b²，發(fā)現a²+c²=b²，再根據勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．

解答：解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵a²+b²+c²-6a-8b-10c+50=0，
∴a²-6a+9+b²-8b+16+c²-10c+25=0，
即（a-3）²+（b-4）²+（c-5）²=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∵3²+4²=5²，即a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵a=x²-1，b=x²+1，c=2x，
∴a²+c²=（x²-1）²+（2x）²=x⁴-2x²+1+4x²=x⁴+2x²+1，
b²=（x²+1）²=x⁴+2x²+1，
∴a²+c²=b²，
∴△ABC為直角三角形．

點評：本題考查了配方法的應用、勾股定理的逆定理、非負數的性質，解題的關鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負數的性質解題．