Question

如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．

（1）求這個二次函數的表達式；
（2）經過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度；
（4）如圖2，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積.

Answer 1

（1）（2）存在，F點的坐標為（2，－3）（3）或（4），解析:
解：（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） 
將A、B、C三點的坐標代入得         ………………… 2分
解得：                                      
所以這個二次函數的表達式為：         ………………… 3分
方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）         
設該表達式為：                    ………………… 2分
將C點的坐標代入得：                          
所以這個二次函數的表達式為：          …………………3分
（注：表達式的最終結果用三種形式中的任一種都不扣分）
（2）方法一：存在，F點的坐標為（2，－3）             
理由：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為：
∴E點的坐標為（－3，0）                             
由A、C、E、F四點的坐標得：AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形
∴存在點F，坐標為（2，－3）                         ………………… 6分
方法二：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為：
∴E點的坐標為（－3，0）                            
∵以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形
∴F點的坐標為（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）  
代入拋物線的表達式檢驗，只有（2，－3）符合
∴存在點F，坐標為（2，－3）                       ………………… 6分
（3）如圖，①當直線MN在x軸上方時，設圓的半徑為R（R>0），則N（R+1，R），
代入拋物線的表達式，解得        …………………8分
②當直線MN在x軸下方時，設圓的半徑為r（r>0），
則N（r+1，－r），
代入拋物線的表達式，解得    ………………… 9分
∴圓的半徑為或．    
（4）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，

易得G（2，－3），直線AG為．       
設P（x，），則Q（x，－x－1），PQ．
             
當時，△APG的面積最大
此時P點的坐標為，．   ………………… 12分
（1）根據已知條件，易求得C、A的坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）根據以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的性質以及二次函數的性質得出AE=CF，AE∥CF即可得出答案．
（3）分兩種情況進行討論：①當直線MN在x軸上方時；②當直線MN在x軸下方時，設圓的半徑，代入拋物線求解
（4）易求得AC的長，由于AC長為定值，當P到直線AG的距離最大時，△APG的面積最大．可過P作y軸的平行線，交AG于Q；設出P點坐標，根據直線AG的解析式可求出Q點坐標，也就求出PQ的長，進而可得出關于△APG的面積與P點坐標的函數關系式，根據函數的性質可求出△APG的最大面積及P點的坐標，根據此時△APG的面積和AG的長，即可求出P到直線AC的最大距離．