Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD ＝2，BD⊥CD ．過點C作CE⊥AB于E，交對角線BD于F．點G為BC中點，連結EG、AF．
【小題1】求EG的長
【小題2】求證：CF ＝AB ＋AF

Answer 1

【小題1】解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∴CD＝DB＝2，∴CB＝＝2，
∵CE⊥AB于E，點G為BC中點，∴EG＝CB＝．（2分）
【小題2】證明：延長BA、CD交于點H，∵BD⊥CD，

∴∠CDF＝∠BDH＝90°，
∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°，
∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH(ASA)，DF＝DH， CF＝ BH＝BA＋AH，
∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°，∠HDA＝∠DCB＝45°，
∴∠ADF＝∠HAD，又DF＝DH，DA＝DA，
∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH，
又CF＝BH＝BA＋AH ，∴CF＝AB＋AF．（6分）解析:
（1）根據BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根據勾股定理求出BC="2" ，根據CE⊥BE，點G為BC的中點即可求出EG；
（2）在線段CF上截取CH=BA，連接DH，根據BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，證出△ABD≌△HCD，得到CD=BD，∠ADB=∠HDC，根據AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，證出△ADF≌△HDF，即可得到答案