Question

【題目】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，把沿軸對折，點落到點處，過點、的拋物線與直線交于點、．

（1）求直線和拋物線的解析式；

（2）在直線上方的拋物線上求一點，使面積最大，求出點坐標；

（3）在第一象限內的拋物線上，是否存在一點，作垂直于軸，垂足為點，使得以、、為項點的三角形與相似？若存在，求出點的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．

【解析】

(1)由直線可以求出A，B的坐標，由待定系數法就可以求出拋物線的解析式和直線BD的解析式；

(2)先求得點D的坐標，作EF∥y軸交直線BD于F，設，利用三角形面積公式求得，再利用二次函數性質即可求得答案；

(3)如圖1，2，分類討論，當△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM時，由相似三角形的性質就可以求出結論；

(1)∵直線AB為，

令y=0，則，令，則y=2，

∴點A、B的坐標分別是：A (-1，0)，B(0，2)，

根據對折的性質：點C的坐標是：(1，0) ，

設直線BD解析式為，

把B(0，2)，C(1，0)代入，得，

解得：，，

∴直線BD解析式為，

把A(-1，0)，B(0，2)代入得，

解得：，，

∴拋物線的解析式為；

(2)解方程組得：和，

∴點D坐標為(3，-4) ，

作EF∥y軸交直線BD于F

設

∴

(0＜＜3)

∴當時，三角形面積最大，

此時，點的坐標為：；

(3)存在．

∵點B、C的坐標分別是B (0，2)、C (1，0)，

∴，，

①如圖1所示，

當△MON∽△BCO時，

∴，即，

∴，

設，則，

將代入拋物線的解析式得：

解得：(不合題意，舍去)，，

∴點M的坐標為(1，2)；

②如圖2所示，

當△MON∽△CBO時，

∴，即，

∴MN=ON，

設，則M(b，b)，

將M(b，b)代入拋物線的解析式得：

∴

解得：(不合題意，舍去)，，

∴點M的坐標為(，)，

∴存在這樣的點或．