Question

（1）如圖1，菱形ABCD中，對角線AC、BD 相交于點O，點E是AB的中點，已知AC=8cm，BD=6cm，求OE的長．
（2）如圖2，把一張長方形ABCD的紙片沿EF折疊后，ED與BC的交點為G，點D、C分別落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠AEG和∠ECB的度數．

Answer 1

分析：（1）根據菱形的性質得AC與OB互相垂直平分，則得到∠AOB=90°，OA=4cm，OB=3cm，再根據勾股定理計算出AB=5cm，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到OE的長；
（2）根據矩形的性質得AD∥BC，再根據平行線的性質得∠DEF=∠EFG=55°，然后根據折疊的性質得到∠DEF=∠D′EF=55°，即∠DED′=110°，所以∠AEG=180°-∠DEG=70°，∠EGB=∠DEG=110°．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC與OB互相垂直平分，
∴∠AOB=90°，OA=

1

2

AC=4cm，OB=

1

2

BD=3cm，
∴AB=

OA2+OB2

=5cm，
∵點E是AB的中點，
∴OE=

1

2

AB=

5

2

cm；

（2）∵四邊形ABCD為長方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFG=55°，
∵長方形ABCD的紙片沿EF折疊后，ED與BC的交點為G，點D、C分別落在D′、C′的位置上，
∴∠DEF=∠D′EF=55°，
∴∠DED′=110°，
∴∠AEG=180°-∠DEG=70°，∠EGB=∠DEG=110°．

點評：本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等．也考查了菱形、矩形的性質以及勾股定理．