Question

如圖（1），將一個正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點，連接成正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁，如圖（2）中陰影部分；取△A₁B₁C₁和△₁D₁E₁F₁各邊中點，連接成正六角星形A₂F₂B₂D₂C₂E ₂F₂，如圖（3）中陰影部分；如此下去…，則正六角星形A_nF_nB_nD_nC_nE _nF_n的面積為

 

．

Answer 1

分析：先分別求出第一個正六角星形AFBDCE與第二個邊長之比，再根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，找出規(guī)律即可解答．

解答：解：∵A₁、F₁、B₁、D₁、C₁、E₁分別是△ABC和△DEF各邊中點，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁且相似比為2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面積為1，
∴正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁的面積為

1

4

，
同理可得，第二個六角形的面積為：

1

42

=

1

16

，
第三個六角形的面積為：

1

43

=

1

64

，
第n個六角形的面積為：

1

4n

．
故答案為：

1

4n

．

點評：本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)及三角形中位線定理，解答此題的關(guān)鍵是熟知相似多邊形面積的比等于相似比的平方．