Question

如圖所示，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，D是

AB

上的點，BD交AC于E，已知AB=5，sin∠CAB=

3

5

．
（1）設CE=m，

DE

BE

=k，試用含m的代數式表示k；
（2）當AD∥OC時，求k的值；
（3）當BE=6DE時，求

CD

的長．
（參考數據：tan6°≈

1

10

，tan7°≈

1

8

，tan8°≈

1

7

，結果保留π）

Answer 1

分析：（1）先由直徑所對的圓周角是直角得出∠ACB=90°，再解Rt△ABC，得出BC=3，AC=4，在△BCE中利用勾股定理得出BE²=m²+9，然后根據相交弦定理得出BE•DE=AE•CE，即可求出k=

m(4-m)

m2+9

；
（2）先由平行線的性質與圓周角定理證明∠OAC=∠EBC，又∠ACB=∠BCE，根據兩角對應相等的兩三角形相似得出△ABC∽△BEC，由相似三角形對應邊成比例列出比例式BC：EC=AC：BC，求出m=

9

4

，進而得到k的值；
（3）先由BE=6DE，即k=

1

6

，得出

m(4-m)

m2+9

=

1

6

，解得m₁=3，m₂=

3

7

．再分兩種情況討論：①當m=3時，易證△CBE是等腰直角三角形，得出∠CBE=45°，由圓周角定理求出∠COD=90°，然后根據弧長公式求出

CD

的長；②當m=

3

7

時，在△CBE中利用正切函數的定義求出∠CBE≈8°，由圓周角定理求出∠COD=16°，然后根據弧長公式求出

CD

的長．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，sin∠CAB=

3

5

，
∴BC=3，AC=4，
又∵BE²=m²+9，BE•DE=AE•CE，
∴k•BE²=m（4-m），即k=

m(4-m)

m2+9

；

（2）∵AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，
∵∠OAC=∠OCA，∠DAC=∠EBC，
∴∠OAC=∠EBC，
又∵∠ACB=∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，
∴BC：EC=AC：BC，即3：m=4：3，
解得m=

9

4

，
∴k=

m(4-m)

m2+9

=

9 4 (4- 9 4 )

( 9 4 )2+9

=

7

25

；


（3）∵BE=6DE，即k=

1

6

，
∴

m(4-m)

m2+9

=

1

6

，
解得m₁=3，m₂=

3

7

．
①當m=3時，CE=BC=3，
∴∠CBE=45°，
∴∠COD=2∠CBE=90°，

CD

的長為：

90π× 5 2

180

=

5

4

π；
②當m=

3

7

時，tan∠CBE=

CE

BC

=

3 7

3

=

1

7

，
∴∠CBE≈8°，
∴∠COD=2∠CBE=16°，

CD

的長約為：

16π× 5 2

180

=

2

9

π．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，圓周角定理，勾股定理，相交弦定理，平行線的性質，解直角三角形等知識，綜合性較強，有一定難度，利用數形結合及分類討論的思想是解題的關鍵．