Question

如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD為斜邊AC上的中線，將△ABD繞點D順時針旋轉α（0°＜α＜180°），得到△EFD，點A的對應點為點E，點B的對應點為點F，連接BE、CF．
（1）判斷BE與CF的位置、數量關系，并說明理由；
（2）若連接BF、CE，請直接寫出在旋轉過程中四邊形BCEF能形成哪些特殊四邊形；
（3）如圖2，將△ABC中AB=BC改成AB≠BC時，其他條件不變，直接寫出α為多少度時（1）中的兩個結論同時成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知條件得出BD=AD=CD．∠ADB=∠BDC=90°，再根據△ABD旋轉得到△EFD，得出∠EDB=∠FDC，從而證出△BED≌△CFD，得出BE=CF，∠DEB=∠DFC，再根據∠DNE=∠FNB，得出∠DEB+∠DNE=∠DFC+∠FNB，最后證出∠FMN=∠NDE=90°，得出FC⊥BE．
（2）根據已知條件得出四邊形BEFC是等腰梯形和正方形．
（3）根據△ABC中AB=BC改成AB≠BC，得出α=90°時（1）兩個結論同時成立．
解答：解：（1）FC=BE，FC⊥BE．
證明：∵∠ABC=90°，BD為斜邊AC的中線，AB=BC，
∴BD=AD=CD．∠ADB=∠BDC=90°．
∵△ABD旋轉得到△EFD，
∴∠EDB=∠FDC．
DF=BD，ED=AD=CD．
∴△BED≌△CFD．
∴BE=CF．
∴∠DEB=∠DFC．
∵∠DNE=∠FNB，
∴∠DEB+∠DNE=∠DFC+∠FNB．
∴∠FGN=∠NDE=90°．
∴FC⊥BE．

（2）等腰梯形和正方形．

如圖過F作FM∥BE交CE的延長線于M，則得出平行四邊形BFME，推出BF∥CM，即可得出等腰梯形BCEF；
當F與A重合時，所得的四邊形是正方形，如圖：

（3）

當α=90°（1）中的兩個結論同時成立，
∵∠BDF=∠EDC=90°，
∴∠FDC=∠BDE，
在△BDE和△FDC中，
，
∴△BDE≌△FDC，
∴BE=CF，
∠DFC=∠DBE，
∵∠DNF=∠BNM，
∴∠BMN=∠FDN=90°，
∴BE⊥CF．
點評：此題考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質，旋轉的性質等知識點；要注意知識的綜合應用，是一道常考題型．