Question

已知二次函數y=ax²+bx+c（a＜0）的函數圖象與y軸交于點C（0，8），與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點（x₁＜x₂），且4a+2b+c=0，S_△ABC=32．
（1）求二次函數的解析式；
（2）連AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，寫出自變量m的取值范圍并求面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）首先求得A、B兩點的坐標，代入二次函數的解析式用待定系數法求解即可．
（2）易得S_△EFC=S_△BCE-S_△BFE，只需利用平行得到三角形相似，求得EF長，進而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE邊上的高；

解答：解：（1）由已知得：c=8，
又∵4a+2b+c=0，
∴拋物線經過（2，0），
∴點B的坐標為（2，0），
∵S_△ABC=32．
∴

1

2

×8×AB=32
解得：AB=8
∴A（-6，0），
將點A（-6，0）B（2，0）代入y=ax²+bx+c得：

36a-6b+8=0 4a+2b+8=0

解得：

a=- 2 3 b=- 8 3

故二次函數的解析式為y=-

2

3

x²-

8

3

x+8．
（2）依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴

EF

AC

=

BE

AB

，即

EF

10

=

8-m

8

∴EF=

40-5m

4

過點F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

∴

FG

EF

=

4

5

∴FG=

4

5

•

40-5m

4

=8-m
∴S=S_△BCE-S_△BFE
=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m）
=

1

2

（8-m）（8-8+m）
=

1

2

（8-m）m
=-

1

2

m²+4m
=-

1

2

（m-4）²+8
自變量m的取值范圍是0＜m＜8
∴當m=4時，S_最大值=8．

點評：本題綜合考查用待定系數法求二次函數解析式；以及求二次函數的最值等知識點．難度較大，往往是中考題的壓軸題．