Question

如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2厘米，現有兩點E、F，分別從點B，點A同時出發，點E沿線段BA以1厘米/秒的速度向點A運動，點F沿折線A-D-C以2厘米/秒的速度向C運動，設點E離開B的時間為t秒．
（1）當t為何值時，線段EF與BC平行？
（2）設1＜t＜2，當t為何值時，EF與半圓相切？

Answer 1

【答案】分析：（1）如果EF∥BC，那么根據ABCD是正方形可知BEFC是矩形，則BE=CF，據此列出關于t的方程，求出方程的解即為本問答案．
（2）如果EF與半圓相切，那么根據切線長定理，得EF=BE+CF，則EF可用含t的代數式表示，過F點作KF∥BC交AB于K，得∠EKF=90°，KF=2，EK=BE-CF，EF也用含t的代數式表示，根據勾股定理得EF²=EK²+FK²列出關于關于t的方程，求出方程的解，再根據1＜t＜2來進行取舍．
解答：解：（1）設E、F出發后運動了t秒時，EF∥BC（如圖甲），
則BE=t，CF=4-2t，即有t=4-2t，
解得：t=，
答：當t=秒時，線段EF與BC平行．

（2）設E、F出發后運動了t秒時，EF與半圓相切（如圖乙），
過F點作KF∥BC交AB于K，
則BE=t，CF=4-2t，EK=t-（4-2t）=3t-4，
∵EF與半圓相切，
∴EF=EH+FH=EB+FC=t+（4-2t）=4-t，
又∵EF²=EK²+FK²，
∴（4-t）²=（3t-4）²+2²，即2t²-4t+1=0，
解得t=，
∵1＜t＜2，
∴t=，
∴當t為秒時，EF與半圓相切．
點評：本題主要考查了圓的綜合，涉及了切線的性質、一元一次方程的應用及一元二次方程的解，由于E，F是動點，根據已知條件確定他們的大致位置是本題的關鍵．