Question

（2012•北京）在平面直角坐標系xOy中，我們把橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．已知點A（0，4），點B是x軸正半軸上的整點，記△AOB內部（不包括邊界）的整點個數為m．當m=3時，點B的橫坐標的所有可能值是

3或4

；當點B的橫坐標為4n（n為正整數）時，m=

6n-3

（用含n的代數式表示）．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，根據圖形可得當點B的橫坐標為8時，n=2時，此時△AOB所在的四邊形內部（不包括邊界）每一行的整點個數為4×2+1-2，共有3行，所以此時△AOB所在的四邊形內部（不包括邊界）的整點個數為（4×2+1-2）×3，因為四邊形內部在AB上的點是3個，所以此時△AOB內部（不包括邊界）的整點個數為m=

(4×2+1-2)×3-3

2

=9，據此規律即可得出點B的橫坐標為4n（n為正整數）時，m的值．

解答：解：如圖：

當點B在（3，0）點或（4，0）點時，△AOB內部（不包括邊界）的整點為（1，1）（1，2）（2，1），共三個點，
所以當m=3時，點B的橫坐標的所有可能值是3或4；
當點B的橫坐標為8時，n=2時，△AOB內部（不包括邊界）的整點個數m=

(4×2+1-2)×3-3

2

=9，
當點B的橫坐標為12時，n=3時，△AOB內部（不包括邊界）的整點個數m=

(4×3+1-2)×3-3

2

=15，
所以當點B的橫坐標為4n（n為正整數）時，m=

(4×n+1-2)×3-3

2

=6n-3；
另解：網格點橫向一共3行，豎向一共是4n-1列，所以在y軸和4n點形成的矩形內部一共有3（4n-1）個網格點，而這條連線為矩形的對角線，與3條橫線有3個網格點相交，所以要減掉3點，總的來說就是矩形內部網格點減掉3點的一半，即為[3（4n-1）-3]÷2=6n-3．
故答案為：3或4，6n-3．

點評：此題考查了點的坐標，關鍵是根據題意畫出圖形，找出點B的橫坐標與△AOB內部（不包括邊界）的整點m之間的關系，考查數形結合的數學思想方法．