Question

（2007•桂林）如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在BC邊上，AE與BD交于點F，∠BAE=∠ADB．
（1）求證：△ABE∽△DAB；
（2）若AB=12，AD=16，以B為圓心的圓與AE相切，求⊙B的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的性質及相似三角形的判定定理解答；
（2）先根據直角三角形的性質求出AF⊥BF，再根據切線的性質及相似三角形的性質即可解答．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°．
又∵∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△DAB．

（2）解：∵∠BAE=∠ADB，∠ADB+∠ABF=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°，AF⊥BF，
即以B為圓心的圓與AE相切時，圓B的半徑為BF，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，BD=20，
∵∠BAF=∠ADB，∠BAD=∠AFB=90°，
∴△ABF∽△DBA，
∴BF：AB=AB：AD，
∴BF==，
即以B為圓心的圓與AE相切時，圓B的半徑為．
點評：本題利用了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，切線的概念求解．