Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2-x+c經過原點O與點A（6，0）兩點，過點A作AC⊥x軸，交直線y=2x-2于點C，且直線y=2x-2與x軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式，并求出點C和點D的坐標；

（2）求點A關于直線y=2x-2的對稱點A′的坐標，并判斷點A′是否在拋物線上，并說明理由；

（3）點P（x，y）是拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交線段CA′于點Q，設線段PQ的長為l，求l與x的函數關系式及l的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2-x．點C坐標（6，10），點D的坐標（1，0）；（2）在；（3）l=-x2+x+，最大值為．

【解析】

（1）把O、A代入拋物線解析式即可求出a、c，令y=0，即可求出D坐標，根據A、C兩點橫坐標相等，即可求出點C坐標．

（2）過點A′作AF⊥x軸于點F，求出A′F、FO即可解決問題．

（3）設點P（x，x2-x），先求出直線A′C的解析式，再構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．

（1）把點O（0，0），A（6，0）代入y=ax2-x+c，得

，解得，

∴拋物線解析式為y=x2-x．

當x=6時，y=2×6-2=10，

當y=0時，2x-2=0，解得x=1，

∴點C坐標（6，10），點D的坐標（1，0）；

（2）過點A′作AF⊥x軸于點F，

∵點D（1，0），A（6，0），可得AD=5，

在Rt△ACD中，CD==5，

∵點A與點A′關于直線y=2x-2對稱，

∴∠AED=90°，

∴S△ADC=×5AE=×5×10，

解得AE=2，

∴AA′=2AE=4，DE=，

∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，

∴△ADE∽△AA′F，

∴，

解得AF=4，A′F=8，

∴OF=8-6=2，

∴點A′坐標為（-2，4），

當x=-2時，y=×4-×（-2）=4，

∴A′在拋物線上．

（3）∵點P在拋物線上，則點P（x，x2-x），

設直線A′C的解析式為y=kx+b，

∵直線A經過A′（-2，4），C（6，10）兩點，

∴，解得，

∴直線A′C的解析式為y=x+，

∵點Q在直線A′C上，PQ∥AC，點Q的坐標為（x，x+），

∵PQ∥AC，又點Q在點P上方，

∴l=（x+）-（x2-x）=-x2+x+，

∴l與x的函數關系式為l=-x2+x+，（-2＜x≤6），

∵l=-x2+x+=-（x-）2+，

∴當x=時，l的最大值為．