Question

已知：如圖，矩形ABCD中，CD＝2，AD＝3，以C點為圓心，作一個動圓，與線段AD交于點P（P和A、D不重合），過P作⊙C的切線交線段AB于F點.
（1）求證：△CDP∽△PAF；
（2）設DP＝x，AF＝y，求y關于x的函數關系式，及自變量x的取值范圍；
（3）是否存在這樣的點P，使△APF沿PF翻折后，點A落在BC上，請說明理由.（本題12分）

Answer 1

（1）見解析（2）y＝（0＜x＜3）（3）不存在符合要求的點P

解析試題分析:（1）∵PF切⊙C于點P，∴CP⊥PF………………………………………………（1分）
∴∠1＋∠2＝90º，而矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90º，∴∠2＋∠3＝90º，∴∠1＝∠3，∴△CDP∽△PAF……………………………（4分）
（2）∴＝，即＝，整理可得，y＝（0＜x＜3）8′
（3）假設點A的落點為A’，則AA’⊥PF，AF＝A’F
∴AA’∥PC，得□AA’CP，則A’B＝DP
在Rt△A’BF中，x²＋(2－y)²＝y²，……………………………………………12′
即3x²-6x+4=0，該方程無實數根，不存在符合要求的點P…（8分）
考點：本題考查了矩形性質定理；函數
點評：此類試題屬于難度很大的綜合性試題，考生解答此類試題時一定要掌握好每一個小知識點