Question

25、在△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△ADE．
（1）如圖1，∠AED=

90°

°；
（2）連接CE交直線AB于點F，直線CE交BD于點H．
①如圖2所示，試說明∠DBA=∠ECA；
②設∠ABC=α，旋轉的角度∠CAE=β（0°＜β＜360°），當α、β滿足什么關系時，△BCF是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）旋轉前后，對應角相等，即∠AED=∠C=90°；
（2）①由旋轉的性質證明△ABD與△ACE為等腰三角形，且頂角為旋轉角∠BAD=∠CAE，可證△ABD∽△ACE，得出結論；
②△BCF是等腰三角形，有三種可能，即BF=CF，BC=BF，BC=CF，分別畫出圖形，根據等腰三角形的性質，內角和定理，外角定理求關系式．

解答：解：（1）90°；
（2）①由旋轉的性質可知，旋轉中心為A點，B與D，C與E分別為對應點，
∴AB=AD，AC=AE，旋轉角∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠DBA=∠HCA；
②如圖1，BF=CF，β=2α，如圖2，BC=BF，β=180°-α，
如圖3，BC=CF，β=360°-4α，如圖4，BC=CF，β=360°-α．

點評：本題考查了旋轉的性質．關鍵是根據旋轉得到全等三角形，相等角，利用內角和定理，外角定理求角的關系．