Question

如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點，過O點的直線EF與AB，CD的延長線分別交于E，F．
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）當EF與AC滿足什么關系時，以A，E，C，F為頂點的四邊形是菱形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的性質：OB=OD，AE∥CF證得△BOE≌△DOF；
（2）若四邊形EBFD是菱形，則對角線互相垂直，因而可添加條件：EF⊥AC，
當EF⊥AC時，∠EOA=∠FOC=90°，
∵AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，矩形對角線的交點為O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．∴四邊形EBFD是菱形．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD（矩形的對角線互相平分），
AE∥CF（矩形的對邊平行）．
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．
∴△BOE≌△DOF（AAS）．（4分）

（2）解：當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．（5分）
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC（矩形的對角線互相平分）．
又由（1）△BOE≌△DOF得，
OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）（6分）
又EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．（8分）
（注：小括號內的理由不寫不扣分）
點評：本題利用了：1、矩形的性質，2、全等三角形的判定和性質，3、菱形的判定．