Question

研究表明一種培育后能繁殖的細胞在一定的環境下有以下規律：若有n個細胞，經過第一周期后，在第1個周期內要死去1個，會新繁殖（n-1）個；經過第二周期后，在第2個周期內要死去2個，又會新繁殖（n-2）個；以此類推．例如，細胞經過第x個周期后時，在第x個周期內要死去x個，又會新繁殖（n-x）個．

周期序號	在第x周期后細胞總數
1	n-1+（n-1）=2（n-1）
2	2（n-1）-2+（n-2）=3（n-2）
3	3（n-2）-3+（n-3）=4（n-3）
4
5
…	…

（1）根據題意，分別填寫上表第4、5兩個周期后的細胞總數；
（2）根據上表，寫出在第x周期后時，該細胞的總個數y（用x、n表示）；
（3）當n=21時，細胞在第幾周期后時細胞的總個數最多，最多是多少個？

Answer 1

【答案】分析：（1）探索規律：x[n-（x-1）]-x+（n-x）=（x+1）（n-x）；
（2）y=（x+1）（n-x）；
（3）求出當n=21時，y的表達式，運用函數性質求最大值．
解答：解：由題意得
（1）4（n-3）-4+（n-4）=5（n-4）（2分）；
5（n-4）-5+（n-5）=6（n-5）（4分）；

（2）y=（x+1）（n-x）（8分）

（3）當n=21時，y=（x+1）（21-x）=-x²+20x+21=-（x-10）²+121
∵-1＜0，
∴y有最大值．（10分）
當x=10時，y_最大=121．（12分）
點評：（1）探求規律需循序漸進，不能操之過急；（2）運用二次函數性質求最值常用配方法或公式法．