Question

（2007•內江）如圖，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，動點E（與點A，C不重合）在AC邊上，EF∥AB交BC于F點．
（1）當△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時，求CE的長；
（2）當△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時，求CE的長；
（3）試問在AB上是否存在點P，使得△EFP為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面積比等于相似比的平方解題；
（2）根據周長相等，建立等量關系，列方程解答；
（3）先畫出圖形，根據圖形猜想P點可能的位置，再找到相似三角形，依據相似三角形的性質解答．
解答：解：（1）∵△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等
∴S_△ECF：S_△ACB=1：2    
又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB 
==
∵AC=4，
∴CE=；

（2）設CE的長為x
∵△ECF∽△ACB
∴=
∴CF=
由△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等，
得x+EF+x=（4-x）+5+（3-x）+EF
解得
∴CE的長為；

（3）△EFP為等腰直角三角形，有兩種情況：
①如圖1，假設∠PEF=90°，EP=EF
由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°
∴Rt△ACB斜邊AB上高CD=
設EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
=
即=
解得x=，即EF=
當∠EFP´=90°，EF=FP′時，同理可得EF=；

②如圖2，假設∠EPF=90°，PE=PF時，點P到EF的距離為EF
設EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
=，即=
解得x=，即EF=
綜上所述，在AB上存在點P，使△EFP為等腰直角三角形，此時EF=或EF=．
點評：此題考查了相似三角形的性質，有一定的開放性，難點在于作出輔助線就具體情況進行分類討論．