Question

初中我們學過了正弦 余弦的定義，例如sin30°=

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，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°，根據如圖，設計一種方案，解決問題：
已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b，BC=a
（1）用b，c及α，β表示三角形ABC的面積S；
（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

Answer 1

分析：（1）過點C作CE⊥AB于點E，根據正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；
（2）根據S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD列式，然后根據正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉化為三角形函數，代入整理即可得解．

解答：解：（1）過點C作CE⊥AB于點E，
則CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β），
∴S=

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AB•CE=

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c•bsin（α+β）=

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bcsin（α+β）；
即S=

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bcsin（α+β）；

（2）根據題意，S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∵AD⊥BC，
∴

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2

AB•ACsin（α+β）=

1

2

BD•AD+

1

2

CD•AD，
∴sin（α+β）=

BD•AD+CD•AD

AB•AC

，
=

BD

AB

•

AD

AC

+

AD

AB

•

BD

AC

，
=sinαcosβ+cosαsinβ．

點評：本題考查了正弦定理，正弦與余弦的概念，注意利用直角三角形，根據三角形的面積相等列式求解，難度不大．